Kommt auf deinen Vertrag an
es gibt Verträge, in denen du das 13. Monatsgehalt nur bekommst, wenn du bis zum April des Folgejahres (!) nicht gekündigt hast, sonst kann es der Arbeitgeber ggf. zurückfordern.
Ggf. kannst du dich mit deinem neuen Arbeitgeber so einigen, dass er dir dieses 13. Gehalt zahlt, falls du es nicht mehr bekommst/zurückzahlen musst. Ist alles Verhandlungssache.
Könnte gut sein, dass du, wenn du zum 15.11. bei deinem alten Arbeitgeber aufhörst, gar nicht erst das Weihnachtsgeld erhältst, weil es erst zum Ende November überwiesen wird. Wenn du kündigst, frage nach, und fordere es zumindest anteilig bis Mitte November. Du hast vermutlich keinen Anspruch darauf, kannst es aber versuchen.